正態分佈機率

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📊 Normal Distribution Probability Calculator

Enter the mean, standard deviation and lower/upper bounds to compute the probability (area under the normal curve) for that interval, useful for cumulative probabilities and quantile ranges.

📐 計算公式 / 原理
P(a ≤ X ≤ b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%；Φ 為標準正態累積分佈函式
把區間上下界 b、a 分別標準化為 (b−μ)/σ 與 (a−μ)/σ，再取標準正態累積機率之差，即正態曲線在 [a, b] 下的面積（乘 100 得百分比）。下界填一個很大的負數（如 −1e9）即近似負無窮，得到 P(X ≤ b)。區間外機率為 1 減該值。

📐 計算公式與說明

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)

下界可填很大的負數近似 -∞。

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📚 深度解析：正態分佈區間機率

💡 常見使用場景

±1σ 區間
μ=0、σ=1、a=−1、b=1：Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826，即 68.3% 在區間內。
規格限
μ=100、σ=5、規格[90,110]：z1=−2、z2=2；P≈Φ(2)−Φ(−2)=0.9545，約 95.5% 合格。

❓ 常見問題（FAQ）

為何常用 ±1/±2/±3σ？
正態下分別含 68.3%/95.4%/99.7%（經驗法則），快速估"正常波動範圍"。
非正態能套用？
不能，區間比例會偏離經驗值；需按實際分佈或用 Chebyshev 不等式（至少 1−1/k²）。