正態分佈機率 使用指南

輸入均值、標準差以及區間上下界，計算正態分佈下該區間的機率（即曲線下面積），下界可填很大的負數近似負無窮，用於求某取值範圍內的累積機率或分位數區間。

計算公式與原理

P(a ≤ X ≤ b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%；Φ 為標準正態累積分佈函式

把區間上下界 b、a 分別標準化為 (b−μ)/σ 與 (a−μ)/σ，再取標準正態累積機率之差，即正態曲線在 [a, b] 下的面積（乘 100 得百分比）。下界填一個很大的負數（如 −1e9）即近似負無窮，得到 P(X ≤ b)。區間外機率為 1 減該值。

使用步驟

1. 填寫「均值」。
2. 填寫「標準差」。
3. 填寫「下界」。
4. 填寫「上界」。
5. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• 求 P(a<X<b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)。
• 產品質量"落在規格內"比例。
• μ=0,σ=1 為標準正態。

算例參考

• ±1σ 區間：μ=0、σ=1、a=−1、b=1：Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826，即 68.3% 在區間內。
• 規格限：μ=100、σ=5、規格[90,110]：z1=−2、z2=2；P≈Φ(2)−Φ(−2)=0.9545，約 95.5% 合格。

注意事項

結果為按上述公式得到的理論估算值，實際表現受資料分佈、實現細節與執行環境影響，落地決策請以實測為準；本工具純前端執行，輸入不上傳伺服器。

為何常用 ±1/±2/±3σ？

正態下分別含 68.3%/95.4%/99.7%（經驗法則），快速估"正常波動範圍"。

非正態能套用？

不能，區間比例會偏離經驗值；需按實際分佈或用 Chebyshev 不等式（至少 1−1/k²）。