悬臂梁端点载荷挠度计算器

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δ = FL³ / (3EI)

Deflection Cantilever Point

📐 计算公式
弹性解（对照）：δ_el = F·L³ ÷ (3·E·I)（×1000 化 mm），圆截面 I = π·d⁴ ÷ 64（m⁴）。RC 长期刚度（GB 50010-2010，与弹性解并列输出）：M_q = P_q·L；先按 7.1.1 判 M_q ≤ M_cr = f_tk·W_0（W_0 = b·h²/6，kN·m）→ 未开裂取 B_s = E_c·I_0、ψ 不适用；开裂后 σ_s = M_q/(0.87·h₀·A_s)，ψ = 1.1 − 0.65·f_tk/(ρ_te·σ_s)（夹取 0.2~1.0），B_s = E_s·A_s·h₀²/[1.15ψ + 0.2 + 6α_E·ρ]，θ = 2.0 − 0.4·min(1, ρ′/ρ)（7.2.5-1），B = B_s/θ（7.2.2-2），δ_lt = (1/3)·M_q·L²/B。校验：F、L、E、d 非空守卫。判据：无固定分级，弹性挠度与端力、梁长三次方成正比、与直径四次方成反比；RC 挠度按准永久组合与长期刚度验算。

输入端点力 F、长度 L、弹性模量 E、圆截面直径 d，求挠度。

🧮 钢筋混凝土长期刚度对照（GB 50010-2010）

本区默认把上方弹性截面按等面积、等惯性矩反推成等效矩形截面（b≈0.907d、h≈0.866d），并使用同一准永久荷载，使弹性解与 RC 长期刚度在同一截面下对照；结果区同时列出两套截面参数与等效偏差百分比。改动上方截面后可点「按上方弹性截面重置 RC 参数」重新同步。

Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
End deflection delta = F · L^3 / ( 3 · E · I ), with E the modulus and I the second moment of area Euler-Bernoulli beam theory; Timoshenko SP, Gere JM, Mechanics of Materials
Second moment of a circular section I = pi · d^4 / 64 Roark RJ, Young WC, Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill
End rotation theta = F · L^2 / ( 2 · E · I ) Timoshenko SP, Gere JM, Mechanics of Materials
Range of validity Valid only for linear elastic material and small deflections Timoshenko SP, Gere JM, Mechanics of Materials
📌 计算说明
  • δ = FL³/(3EI)（自由端）。
  • 示例 → 约 0.272 mm。

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📚 深度解析：悬臂梁端集中力挠度

💡 常见使用场景

钢圆杆 d=100mm
F=100 N, L=2 m, E=200 GPa, d=0.1 m：I=πd⁴/64=4.91×10⁻⁶ m⁴，δ=FL³/(3EI)=100×8/(3×200e9×4.91e-6)=2.72×10⁻⁴ m≈0.27 mm。
直径加倍
d 0.1→0.2：I 增 16 倍，δ 降至约 0.017 mm。

❓ 常见问题（FAQ）

挠度与刚度关系？
δ 与 EI 成反比，EI 为抗弯刚度，截面惯性矩 I 影响最显著（四次方）。
均布与集中差别？
均布端挠度为 wL⁴/(8EI)，约为同总载集中力的 5/8。