向量夾角計算器

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Angle Between Two Vectors

Compute the angle between two vectors from their components using θ = arccos(a·b/(|a||b|)), returned in both radians and degrees.

📐 計算公式
θ=arccos(a·b/(|a||b|))。 x 軸與 y 軸單位向量 → 90°。

輸入兩向量的分量，求夾角。

📌 計算說明
  • θ=arccos(a·b/(|a||b|))。
  • x 軸與 y 軸單位向量 → 90°。

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📚 深度解析：由兩向量求夾角（θ = arccos(a·b/(|a|·|b|))）

💡 常見使用場景

方法
演算法：點積 a·b = ax·bx + ay·by，|a| = √(ax²+ay²)、|b| = √(bx²+by²)；夾角 θ = arccos(a·b/(|a|·|b|))，結果以度輸出（弧度×180/π）。點積 >0 為銳角、=0 為正交、<0 為鈍角。要求兩向量均非零（否則分母為 0 無定義）。
算例
例：a=(1,0)、b=(0,1) → a·b=0、|a|=1、|b|=1、θ=arccos(0)=90.000°（正交）。若 a=(1,1)、b=(1,0) → a·b=1、|a|=1.414、|b|=1、cosθ=0.7071、θ=45.000°（即兩向量成 45° 角）。

❓ 常見問題（FAQ）

為什麼夾角只落在 0°~180°？
arccos 的值域就是 [0,π]，對應幾何中兩向量之間的最小夾角，符合“夾角”定義；若要區分順/逆時針方向需用 atan2 或有向角，本工具不輸出方向。
零向量會怎樣？
零向量模長為 0，分母為 0 無法定義夾角。請在輸入時保證兩個向量都不為零；若某分量全 0，工具會提示輸入無效而非給出錯誤數值。