余弦定理求边计算器

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Law of Cosines Calculator

Compute the third side of a triangle from two sides and the included angle.

📐 计算公式
余弦定理（本页代码口径，夹角按度输入先化弧度）：c=√(a²+b²−2×a×b×cosC)；联动量：面积=a×b×sinC÷2、cosA=(b²+c²−a²)÷(2bc)、cosB=(a²+c²−b²)÷(2ac)，反解角度时余弦值先钳制到 [−1,1]。校验：无强校验（空值按 0 兜底），a、b、c 非正或对应角非有限时该角显示 —。判据：无固定分级，C=90° 时退化为勾股定理，C 越大对边 c 越长。

输入两边 a、b 及其夹角 C（度），求第三边 c。

📌 计算说明
  • C=90° 退化为勾股定理。
  • 3,4,90° → 5。

📚 深度解析：余弦定理

💡 常见使用场景

求第三边
a=5,b=7,夹角 C=60°：c²=5²+7²-2×5×7×cos60°=25+49-70×0.5=39，c=√39≈6.245。
求角度
三边 a=3,b=4,c=5：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(9+16-25)/24=0，故 C=90°，印证直角三角形。

❓ 常见问题（FAQ）

余弦定理和勾股定理关系？
余弦定理是勾股定理的推广：当 C=90° 时 cosC=0，退化为 c²=a²+b²。直角是特例。
什么时候用余弦定理而不是正弦定理？
已知两边夹角（求第三边）或已知三边（求角）用余弦定理；已知两角一边或两边及其中一边的对角用正弦定理。

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Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
Law of cosinesc² = a² + b² − 2ab·cosCEuclid Elements II.12/13 equivalent
SAS caseTwo sides and included angle determine the third side directlyStandard triangle-solving rules
Angle formcosC = (a² + b² − c²) ÷ 2ab solves any angleLaw-of-cosines rearrangement
Pythagorean limitAt C=90° reduces to c² = a² + b²Pythagorean theorem