微積分工具

📚 深度解析：微積分工具

💡 常見使用場景

• 數值求導、積分、極限與泰勒展開是物理建模、工程最佳化與經濟邊際分析的基礎工具。
• 解析解難求時（如含超越函式），數值法給出可用近似，代價是截斷/舍入誤差。
• 導數看瞬時變化率，積分看累積量，極限看趨近行為，泰勒用於區域性多項式逼近。

❓ 常見問題（FAQ）

數值求導的誤差來源？

主要來自步長 h：h 過大截斷誤差大，h 過小舍入誤差放大。中心差分比前向差分精度高一個量級，常用 h≈1e-5 平衡兩類誤差。

梯形法積分精度如何？

梯形法誤差約 O(1/n²)，n 越大越準。對平滑函式足夠；對有尖點/奇點的函式需分段或換更優方法（辛普森）。本工具固定 n=1000。

為什麼極限不直接代入 x=0？

極限描述的是趨近行為而不是該點的取值。f 在 0 處可以無定義卻仍有極限（如 sin(x)/x → 1），所以本工具只在 x=±1e-6 兩側對稱取樣，兩側結果接近才認為極限存在；1/x 這類兩側發散到 ±∞ 的判為不存在。