📊 Normal Distribution Probability Calculator

Enter the mean, standard deviation and lower/upper bounds to compute the probability (area under the normal curve) for that interval, useful for cumulative probabilities and quantile ranges.

📐 计算公式 / 原理

P(a ≤ X ≤ b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%；Φ 为标准正态累积分布函数

把区间上下界 b、a 分别标准化为 (b−μ)/σ 与 (a−μ)/σ，再取标准正态累积概率之差，即正态曲线在 [a, b] 下的面积（乘 100 得百分比）。下界填一个很大的负数（如 −1e9）即近似负无穷，得到 P(X ≤ b)。区间外概率为 1 减该值。

均值

标准差

下界

上界

📐 计算公式与说明

正态区间概率判读（与上式互补，共用 erf 实现）：P(a≤X≤b)=[Φ((b−μ)÷σ)−Φ((a−μ)÷σ)]×100%，区间外概率=(1−区间概率)×100% 两项互补输出；Φ(z)=0.5×(1+erf(z÷√2))。校验：四字段经输入守卫必填且须为合法数值（无 σ>0 强校验）。判据：无固定分级，a、b 关于 μ 对称时区间概率=2Φ(|b−μ|÷σ)−1，σ 越大概率越分散。

下界可填很大的负数近似 -∞。

Item

Formula

Source / Standard

Interval probability

P(a≤X≤b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%, Φ is the standard normal CDF

Abramowitz & Stegun 26.2.17

Standard normal CDF

Φ(z) = 0.5 × (1 + erf(z ÷ √2)), erf by Abramowitz–Stegun 7.1.26

NIST/SEMATECH 1.3.6.2

Empirical rule

P(μ±kσ) = 2Φ(k) − 1; k=1/1.96/2.576/3 ⇒ 68.27% / 95% / 99% / 99.74%

68–95–99.7 rule

📚 深度解析：正态分布区间概率

💡 常见使用场景

求 P(a<X<b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)。

产品质量"落在规格内"比例。

μ=0,σ=1 为标准正态。

±1σ 区间

μ=0、σ=1、a=−1、b=1：Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826，即 68.3% 在区间内。

规格限

μ=100、σ=5、规格[90,110]：z1=−2、z2=2；P≈Φ(2)−Φ(−2)=0.9545，约 95.5% 合格。

❓ 常见问题（FAQ）

为何常用 ±1/±2/±3σ？

正态下分别含 68.3%/95.4%/99.7%（经验法则），快速估"正常波动范围"。

非正态能套用？

不能，区间比例会偏离经验值；需按实际分布或用 Chebyshev 不等式（至少 1−1/k²）。

正态分布概率