正态分布概率

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📊 Normal Distribution Probability Calculator

Enter the mean, standard deviation and lower/upper bounds to compute the probability (area under the normal curve) for that interval, useful for cumulative probabilities and quantile ranges.

📐 计算公式 / 原理
P(a ≤ X ≤ b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%；Φ 为标准正态累积分布函数
把区间上下界 b、a 分别标准化为 (b−μ)/σ 与 (a−μ)/σ，再取标准正态累积概率之差，即正态曲线在 [a, b] 下的面积（乘 100 得百分比）。下界填一个很大的负数（如 −1e9）即近似负无穷，得到 P(X ≤ b)。区间外概率为 1 减该值。

📐 计算公式与说明

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)

下界可填很大的负数近似 -∞。

📚 深度解析：正态分布区间概率

💡 常见使用场景

±1σ 区间
μ=0、σ=1、a=−1、b=1：Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826，即 68.3% 在区间内。
规格限
μ=100、σ=5、规格[90,110]：z1=−2、z2=2；P≈Φ(2)−Φ(−2)=0.9545，约 95.5% 合格。

❓ 常见问题（FAQ）

为何常用 ±1/±2/±3σ？
正态下分别含 68.3%/95.4%/99.7%（经验法则），快速估"正常波动范围"。
非正态能套用？
不能，区间比例会偏离经验值；需按实际分布或用 Chebyshev 不等式（至少 1−1/k²）。