正態分佈 CDF 計算器 使用指南

正態分佈 CDF 計算器：輸入均值、標準差與取值 x，計算標準正態分佈累積機率 P(X ≤ x)，用於機率與分位評估。

計算公式與原理

Φ(z) = P(Z ≤ z)；z = (x − μ)/σ

標準正態累積分佈函式 Φ(z) 給出標準正態變數小於等於 z 的機率，即曲線下左側面積。任意正態分佈先標準化為 z = (x − μ)/σ，再由 Φ(z) 求累積機率。用於查正態分佈表與分位評估。

使用步驟

1. 填寫「標準分 z」。
2. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• Φ(z)=0.5(1+erf(z/√2))。
• 求 P(Z≤z) 或區間機率。
• z=1→0.8413、z=1.96→0.975、z=2→0.9772。

算例參考

• 單側機率：z=1：Φ(1)≈0.8413，即 84.13% 資料低於均值+1σ。z=1.96≈0.9750。
• 區間機率：P(−1<Z<1)=Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826（68.3% 法則）；P(−1.96<Z<1.96)≈95%。

注意事項

結果為按上述公式得到的理論估算值，實際表現受資料分佈、實現細節與執行環境影響，落地決策請以實測為準；本工具純前端執行，輸入不上傳伺服器。

erf 是什麼？

誤差函式，正態 CDF 用其表達；多數語言/計算器內建，直接用 Φ(z) 即可。

為什麼記 1.96 和 2.58？

對應 95% 與 99% 雙尾置信的臨界 z 值，統計表/工具常用。