正态分布 CDF 计算器

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Standard Normal CDF Calculator

📐 计算公式
标准正态累积分布（本页代码口径）：erf 用 Abramowitz-Stegun 五系数近似（精度约 10⁻⁷）；Φ(z) = 0.5×(1+erf(z÷√2))；联动量：右尾 = 1−Φ、x = μ+zσ、区间概率 P(|Z−μ|≤zσ) = 2Φ−1。校验：μ 非有限按 0 兜底，σ 非有限或 ≤0 按 1 兜底。判据：无固定分级，速查口径 z=1.96→95%、2.576→99%（双侧置信）。
标准正态累积分布函数 Φ(z) 给出标准正态变量小于等于 z 的概率，即曲线下左侧面积。任意正态分布先标准化为 z = (x − μ)/σ，再由 Φ(z) 求累积概率。用于查正态分布表与分位评估。

Enter the mean, standard deviation and a value x, or a standard score z, to compute the standard normal cumulative probability P(X <= x) for probability and quantile estimates.

📌 计算说明
  • Φ(1.96)≈0.975。
  • erf 近似精度约 1e-7。
  • 阴影面积即左尾概率 P(Z≤z)；改 μ/σ 可看该分位在原始尺度对应的数值 x。

📚 深度解析：正态分布累积概率

💡 常见使用场景

单侧概率
z=1：Φ(1)≈0.8413，即 84.13% 数据低于均值+1σ。z=1.96≈0.9750。
区间概率
P(−1<Z<1)=Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826（68.3% 法则）；P(−1.96<Z<1.96)≈95%。

❓ 常见问题（FAQ）

erf 是什么？
误差函数，正态 CDF 用其表达；多数语言/计算器内置，直接用 Φ(z) 即可。
为什么记 1.96 和 2.58？
对应 95% 与 99% 双尾置信的临界 z 值，统计表/工具常用。

🔗 相关工具

🧮 Z 分数计算器输入原始分数、总体均值与总体标准差，将分数标准化为 Z 分数 (x−μ)/σ，并给出对应的百分位排… 🔬 t 检验统计量输入样本均值、假设总体均值、样本标准差与样本量，计算单样本 t 统计量 t=(x̄−μ)/(s/√… 📊 二项分布概率计算器输入试验次数 n 与成功次数 k、成功概率 p，计算 n 次独立伯努利试验恰好 k 次成功的概率，用 🔬 假设检验 p 值近似输入 Z 统计量，用正态分布近似快速估算双尾 Z 检验的 p 值，并提示 p<0.05 时通常在… 📊 偏度与峰度输入一组数据，计算偏度Skewness与峰度Kurtosis，判断分布是否左偏或右偏、是否比正态分… 🧮 几何平均数计算器几何平均数计算器：输入数值集合，按乘积的 n 次根计算几何平均数，适合增长率、比率等相乘型数据的集中

Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
CDF definitionΦ(x) = ½[1 + erf(x ÷ √2)] using the error functionGauss 1809 / Abramowitz-Stegun 7.1
Empirical rule68.27% within ±1σ, 95.45% within ±2σ, 99.73% within ±3σNormal distribution property
Common table valuesΦ(1.645)=0.95, Φ(1.96)=0.975, Φ(2.576)=0.995Standard normal table
Central limit theoremSample means approach normality with variance σ²/n as n growsLindeberg-Lévy CLT