正态分布概率 使用指南

输入均值、标准差以及区间上下界，计算正态分布下该区间的概率（即曲线下面积），下界可填很大的负数近似负无穷，用于求某取值范围内的累积概率或分位数区间。

计算公式与原理

P(a ≤ X ≤ b) = [Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)] × 100%；Φ 为标准正态累积分布函数

把区间上下界 b、a 分别标准化为 (b−μ)/σ 与 (a−μ)/σ，再取标准正态累积概率之差，即正态曲线在 [a, b] 下的面积（乘 100 得百分比）。下界填一个很大的负数（如 −1e9）即近似负无穷，得到 P(X ≤ b)。区间外概率为 1 减该值。

使用步骤

1. 填写「均值」。
2. 填写「标准差」。
3. 填写「下界」。
4. 填写「上界」。
5. 结果区会即时更新；可一键复制结果用于记录或汇报。

典型使用场景

• 求 P(a<X<b)=Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)。
• 产品质量"落在规格内"比例。
• μ=0,σ=1 为标准正态。

算例参考

• ±1σ 区间：μ=0、σ=1、a=−1、b=1：Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826，即 68.3% 在区间内。
• 规格限：μ=100、σ=5、规格[90,110]：z1=−2、z2=2；P≈Φ(2)−Φ(−2)=0.9545，约 95.5% 合格。

注意事项

结果为按上述公式得到的理论估算值，实际表现受数据分布、实现细节与运行环境影响，落地决策请以实测为准；本工具纯前端运行，输入不上传服务器。

为何常用 ±1/±2/±3σ？

正态下分别含 68.3%/95.4%/99.7%（经验法则），快速估"正常波动范围"。

非正态能套用？

不能，区间比例会偏离经验值；需按实际分布或用 Chebyshev 不等式（至少 1−1/k²）。