由兩三維向量求點積 使用指南

向量點積計算器求兩向量各分量乘積之和 A·B，支援三維，適合幾何、物理與機器學習中的投影、夾角與相似度計算。

計算公式與原理

a·b = Σ a_i·b_i

輸入兩向量各分量，求點積。

使用步驟

1. 填寫「A_x」。
2. 填寫「A_y」。
3. 填寫「A_z」。
4. 填寫「B_x」。
5. 填寫「B_y」。
6. 填寫「B_z」。
7. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• 判斷兩向量夾角、是否正交（點積為 0）
• 投影長度、力學中做功 W=F·s
• 機器學習中餘弦相似度的分子

算例參考

• 座標計算：a=(1,2,3), b=(4,5,6)：點積=1×4+2×5+3×6=4+10+18=32。模長 |a|=√14≈3.742，|b|=√77≈8.775，故 cosθ=32/(3.742×8.775)≈0.975，θ≈12.9°。
• 正交判斷：a=(1,0), b=(0,1) 點積=0，兩向量垂直（正交）。

注意事項

本工具純前端執行，輸入內容不上傳伺服器；結果為按上述口徑得到的理論估算值。實際應用受裝置引數、測量條件與當地規範影響，請以裝置銘牌、檢測報告與現行標準為準，重大決策建議諮詢專業人士。

點積和叉積區別？

點積是標量，衡量「同向程度」（含夾角餘弦）；叉積是向量，垂直兩向量所在平面，大小等於平行四邊形面積，僅三維有定義。

點積為 0 說明什麼？

兩向量正交（垂直），或一個為零向量。幾何上互不影響、投影為 0。