等比数列求和计算器

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Geometric Series Sum Calculator

Compute the sum of a geometric series from first term, ratio and term count.

📐 计算公式
等比数列求和（本页代码口径）：|1−r|<10⁻¹² 时按退化式 S_n=a×n（公比为 1）；否则 S_n=a×(1−rⁿ)÷(1−r)；联动量：末项 a_n=a×r^(n−1)；|r|<1 时无穷和=a÷(1−r)，否则输出「不收敛」。校验：a、r、n 空值即提示并中止。判据：无固定分级，收敛性仅取决于公比绝对值是否小于 1。

输入首项 a、公比 r 与项数 n，求前 n 项和。

📌 计算说明
  • |r|<1 时数列收敛。
  • 1,0.5,4 → 1.875。

📚 深度解析：等比数列求和

💡 常见使用场景

有限求和
首项 a1=1、公比 r=2、n=10 项：S=1×(2^10-1)/(2-1)=1023。即 1+2+4+…+512=1023。
无限级数
|r|<1 时无限和 S=a1/(1-r)；如 1+1/2+1/4+…=1/(1-0.5)=2，收敛到 2。

❓ 常见问题（FAQ）

等比求和公式的两个版本？
有限项 S=a1(1-r^n)/(1-r)；无限项且 |r|<1 时 S=a1/(1-r)。|r|≥1 的无限级数发散，没有有限和。
公比 r=1 怎么办？
r=1 时分母为 0，公式失效；此时每项相等，和直接为 n×a1。

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Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
Geometric series sumSn = a1(1 − q^n) ÷ (1 − q) for q ≠ 1Standard summation formula
Infinite geometricFor |q| < 1, S = a1 ÷ (1 − q) (Zeno's paradox)Zeno's Achilles paradox
Term and meanan = a1·q^(n−1); geometric mean m = ±√(ab)Geometric sequence definitions
Compound interest linkCompound growth FV = PV(1+r)^n is a geometric modelFinancial-mathematics basis