微积分工具

📚 深度解析：微积分工具

💡 常见使用场景

• 数值求导、积分、极限与泰勒展开是物理建模、工程优化与经济边际分析的基础工具。
• 解析解难求时（如含超越函数），数值法给出可用近似，代价是截断/舍入误差。
• 导数看瞬时变化率，积分看累积量，极限看趋近行为，泰勒用于局部多项式逼近。

❓ 常见问题（FAQ）

数值求导的误差来源？

主要来自步长 h：h 过大截断误差大，h 过小舍入误差放大。中心差分比前向差分精度高一个量级，常用 h≈1e-5 平衡两类误差。

梯形法积分精度如何？

梯形法误差约 O(1/n²)，n 越大越准。对平滑函数足够；对有尖点/奇点的函数需分段或换更优方法（辛普森）。本工具固定 n=1000。

为什么极限不直接代入 x=0？

极限描述的是趋近行为而不是该点的取值。f 在 0 处可以无定义却仍有极限（如 sin(x)/x → 1），所以本工具只在 x=±1e-6 两侧对称采样，两侧结果接近才认为极限存在；1/x 这类两侧发散到 ±∞ 的判为不存在。