向量夹角计算器

← ToolBox / 向量夹角计算器
📖 查看「由两向量求夹角 使用指南」

Angle Between Two Vectors

Compute the angle between two vectors from their components using θ = arccos(a·b/(|a||b|)), returned in both radians and degrees.

📐 计算公式
θ=arccos(a·b/(|a||b|))。 x 轴与 y 轴单位向量 → 90°。

输入两向量的分量，求夹角。

Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
Angle between vectorscos θ = (a·b)/(|a||b|)Analytic geometry
Dot producta·b = ΣaᵢbᵢVector algebra
Norm|a| = √(a·a)Euclidean norm
Range0–180 degreesGeometric definition
Orthogonalitya·b = 0 means perpendicularVector algebra
Radians1 rad = 180/π degreesAngle units
📌 计算说明
  • θ=arccos(a·b/(|a||b|))。
  • x 轴与 y 轴单位向量 → 90°。

🔗 相关工具

📐 V = (1/3) · 底面积 · 高由底面积与高求棱锥体积 📏 三维距离计算器由两点坐标求空间距离 📐 三角形面积计算器（海伦公式）海伦公式（A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))） 🗺️ 中点坐标计算器由两点求线段中点 🧮 二维点积计算器由两向量求数量积与投影 🧮 勾股定理计算器斜边（c = √(a² + b²)）

📚 深度解析：由两向量求夹角（θ = arccos(a·b/(|a|·|b|))）

💡 常见使用场景

方法
算法：点积 a·b = ax·bx + ay·by，|a| = √(ax²+ay²)、|b| = √(bx²+by²)；夹角 θ = arccos(a·b/(|a|·|b|))，结果以度输出（弧度×180/π）。点积 >0 为锐角、=0 为正交、<0 为钝角。要求两向量均非零（否则分母为 0 无定义）。
算例
例：a=(1,0)、b=(0,1) → a·b=0、|a|=1、|b|=1、θ=arccos(0)=90.000°（正交）。若 a=(1,1)、b=(1,0) → a·b=1、|a|=1.414、|b|=1、cosθ=0.7071、θ=45.000°（即两向量成 45° 角）。

❓ 常见问题（FAQ）

为什么夹角只落在 0°~180°？
arccos 的值域就是 [0,π]，对应几何中两向量之间的最小夹角，符合“夹角”定义；若要区分顺/逆时针方向需用 atan2 或有向角，本工具不输出方向。
零向量会怎样？
零向量模长为 0，分母为 0 无法定义夹角。请在输入时保证两个向量都不为零；若某分量全 0，工具会提示输入无效而非给出错误数值。