餘弦相似度 使用指南

輸入兩個向量，計算餘弦相似度以衡量方向一致性，適用於文本語義匹配、推薦召回與嵌入向量比對。

計算公式與原理

cos θ = (Σaᵢbᵢ) / (√Σaᵢ² · √Σbᵢ²)

餘弦相似度取值範圍 [−1,1]，1 為同向、0 為正交、−1 為反向。因為做了模長歸一化，它對向量整體縮放不敏感，適合比較長度差異很大的文本或特徵向量；若需要同時反映模長差異應改回歐氏距離。

使用步驟

1. 填寫「向量A1」。
2. 填寫「A2」。
3. 填寫「A3」。
4. 填寫「向量B1」。
5. 填寫「B2」。
6. 填寫「B3」。
7. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• cos(x,y)=Σxᵢyᵢ/(‖x‖·‖y‖)，取值 [−1,1]，1 為同方向、0 正交、−1 反向。
• 對向量歸一化後，餘弦等價於內積，計算更快且利於檢索索引。
• 文本/影像嵌入比對幾乎都用餘弦，因模長常受頻率或亮度干擾不代表語義。

算例參考

• 兩向量夾角：x=(1,2,2), y=(2,4,4)：‖x‖=3,‖y‖=6,內積=2+8+8=18 → cos=18/(3×6)=1，兩向量同向(實際 y=2x)，完全相似。

注意事項

結果為按上述公式得到的理論估算值，實際表現受資料分佈、實現細節與執行環境影響，落地決策請以實測為準；本工具純前端執行，輸入不上傳伺服器。

餘弦為負說明什麼？

說明兩向量夾角大於 90°，語義傾向相反(如反義句、對立情感)。多數相似度場景只取非負區間，需按業務決定是否保留負值。

為什麼先歸一化？

歸一化後模長均為 1，餘弦=內積，便於用內積加速檢索(如 FAISS)；且消除向量長度對相似度的影響，聚焦方向。