指數分佈計算器 - 輸出機率密度與累積機率

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⏱️ Exponent Distribution Calculator

📐 工作原理與說明

指數分佈描述泊松過程中相鄰事件的時間間隔：速率 λ 越大，事件越密集。累計分佈函式 P(X≤x)=1−e^(−λx)，機率密度 f(x)=λe^(−λx) (x≥0)。工具純前端計算，結果即時顯示，可換算均值 1/λ 與標準差 1/λ。

速率 λ（>0，單位時間發生次數）

時間 x（≥0）

📋 指數分佈公式

PDF: f(x) = λe^−λx | CDF: F(x) = 1 − e^−λx

性質：
• 均值 E[X] = 1/λ
• 方差 Var[X] = 1/λ²
• 無記憶性：P(X > s+t | X > s) = P(X > t)
• 適用場景：兩次獨立事件之間的等待時間（如裝置故障間隔、客服來電間隔）

📚 深度解析：指數分佈計算器

💡 常見使用場景

建模裝置壽命、請求間隔等“無記憶”等待時間。
估算等待時間：若平均間隔為 λ⁻¹，可用該分佈算出「等待超過某閾值」的機率，用於設定超時與告警線。

平均 10 分鐘

λ=0.1/分鐘，P(T>10)=e^(−0.1·10)=e^−1≈0.368（約 36.8% 超過 10 分鐘）。

❓ 常見問題（FAQ）

無記憶性指什麼？: 已等待 t 不影響後續等待分佈，P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。
指數分佈和泊松分佈什麼關係？: 二者描述同一過程的兩面：若單位時間內事件發生次數服從泊松分佈（引數 λ），則兩次事件之間的間隔服從指數分佈（同一 λ）。因此「每分鐘平均 3 個請求」等價於「平均間隔 1/3 分鐘」。建模時選哪個，取決於你關心次數還是間隔。

⚠️ 使用說明與注意事項

本工具純前端執行，資料不會上傳到伺服器
建議在主流瀏覽器（Chrome/Safari/Firefox/Edge）中使用
計算結果僅供參考，請以實際應用場景為準

📖關於「指數分佈計算器」 ▼

📝工具簡介

Compute exponential distribution probabilities for time-between-events models.