统计学分布计算（正态/泊松/二项）

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📊 Statistical Distribution Calculator

Compute PDF & CDF for normal, Poisson and binomial distributions — all client-side.

📐 工作原理与公式
三种概率分布计算
正态分布：标准分 z=(x−μ)/σ；密度 f(x)=e^(−(x−μ)²/2σ²) / (σ√(2π))；累积概率 Φ(z) 用误差函数多项式近似（Abramowitz-Stegun）
泊松分布：P(X=k)=e^(−λ)·λ^k/k!；CDF=ΣP(X=i)；均值=方差=λ，标准差=√λ
二项分布：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)；CDF=ΣP(X=i)；均值 np，方差 np(1−p)
正态分布 N(μ,σ)：密度 f(x)=1/(σ√2π)·e^(−(x−μ)²/2σ²)，累积概率 Φ(z) 由误差函数近似求得，z=(x−μ)/σ。
泊松分布 P(λ)：P(X=k)=e^(−λ)·λ^k/k!，描述单位时间/面积内稀有事件发生次数，均值与方差均为 λ。
二项分布 B(n,p)：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)，n 次独立试验中成功 k 次的概率，均值 np、方差 np(1−p)。结果均由页面本地计算。

📚 深度解析：三种分布的概率密度与累积概率

💡 常见使用场景

  • 概率统计教学中的分布演算与验证
  • 质量控制中按正态分布估算合格率
  • 稀有事件计数场景（如单位时间来电数）用泊松分布建模
正态算例
μ=0、σ=1、x=1.96：z=1.96，概率密度 f(x)≈0.058441，累积概率 Φ(1.96)≈0.975002，即约 97.5% 的取值不超过 1.96。
泊松与二项算例
泊松 λ=3、k=2：P(X=2)≈0.224042、P(X≤2)≈0.423190；二项 n=10、p=0.5、k=5：P(X=5)=252/1024≈0.246094、CDF≈0.623047。

❓ 常见问题（FAQ）

正态累积概率是怎么算的？
先将 x 标准化为 z=(x−μ)/σ，再用误差函数/多项式近似求 Φ(z)，精度足以满足一般教学与工程估算。
泊松分布的 λ 是什么？
λ 是单位时间或面积内事件的平均发生次数，同时也是该分布的均值与方差。
二项分布的 n 和 p 有何限制？
n 为非负整数、p 取 0–1；k 需为不超过 n 的整数，否则概率记为 0。

Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
Normal distributionf(x) = e^(−(x−μ)²/2σ²)/(σ√2π)Gauss 1809
Poisson distributionP(k) = λ^k e^(−λ)/k!Poisson 1837
Binomial distributionP(k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)Bernoulli trials
Mean and varianceExpectation and variance formulasProbability theory
Normal approximationNormal approx when np ≥5de Moivre-Laplace
Empirical rule±1σ 68.27%, ±2σ 95.45%Empirical rule
⚠️ 使用说明与注意事项

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