聚类 K-Means 代价

📊 K-Means Cost (Inertia) Estimator

Estimate K-Means inertia, the within-cluster sum of squares, from sample points and centroids, to compare clustering configurations.

📐 计算公式 / 原理

K-Means 规模估算（本页代码口径）：Inertia 估算=样本数 n×维度 dim×簇间离散度²÷簇数 k；每簇样本=⌈n÷k⌉（向上取整）。校验：无强校验，空值按 0 兜底，分母为 0 或输入为空使结果非有限时显示 — 并警示「部分结果无定义」。判据：无固定分级，k 增大使 Inertia 估算按反比下降、每簇样本相应减少。

在样本近似均匀分布的假设下，簇内平方和随 K 增大按 1/k 衰减，可用于快速预判需要多少簇。实际数据有簇密度差异时，应结合业务含义定 K，而不是只看指标拐点。

样本数

聚类数

维度

簇内散布

📐 计算公式与说明

判读与理论背景（本页代码口径，与上方估算式互补）：Davies-Bouldin 估算=k×离散度÷(离散度+0.1)，离散度增大时趋近 k、趋零时趋 0；理论精确口径 Inertia=ΣΣ||x−μ||² 为各点到簇心距离平方总和，本页以 n·dim·spread²÷k 作量级估算而非真实聚类求和。校验：与上方共用同一组输入。判据：无固定分级，Inertia 越小簇越紧凑，DB 值越小簇间分离越好。

Inertia 越小簇内越紧密。

📚 深度解析：K-Means 代价

💡 常见使用场景

惯性 inertia=Σ‖x−μ_k‖²(簇内平方和 WCSS)，越小聚类越紧致。

inertia 随 k 增大单调下降，需用拐点(手肘)或轮廓系数选 k。

K-Means 对初始中心与异常值敏感，常多次初始化取最优。

代价比较

k=2 时 inertia=500, k=3 时=300, k=4 时=220。inertia 持续下降，k=3→4 降幅(80)明显小于 2→3(200)，结合业务选 k=3 或 4。

❓ 常见问题（FAQ）

inertia 越小越好吗？

不是。k 越大 inertia 越小，k=样本数时为 0 但失去聚类意义；应兼顾紧致性与簇数简洁，用手肘/轮廓系数平衡。

异常值怎么处理？

异常值会大幅拉高 inertia 并偏移质心，可先做离群检测或用 K-Medoids(基于距离中位数)更稳健。

Item	Formula / Note	Source / Standard
Objective	k-means minimises the sum of squared distances from samples to their centroids	Lloyd 1982, IEEE Trans. IT
Iteration	alternate assignment of samples and centroid update until centroids stabilise	MacQueen 1967, Berkeley Symposium
Local optimum	results depend on initialisation so multiple restarts are used to pick the best	Arthur & Vassilvitskii 2007, SODA

Item

Formula / Note

Source / Standard

Objective

k-means minimises the sum of squared distances from samples to their centroids

Lloyd 1982, IEEE Trans. IT

Iteration

alternate assignment of samples and centroid update until centroids stabilise

MacQueen 1967, Berkeley Symposium

Local optimum

results depend on initialisation so multiple restarts are used to pick the best

Arthur & Vassilvitskii 2007, SODA