由兩向量求數量積與投影 使用指南

輸入兩個二維向量的分量，計算它們的點積 a·b=a_x·b_x+a_y·b_y，以及向量 a 在 b 上的投影長度，用於力學分解、圖形學與向量夾角的幾何分析。

計算公式與原理

b = a_xb_x + a_yb_y。 3,4·1,0 = 3。

輸入兩向量分量，求點積與 a 在 b 上的投影長度。

使用步驟

1. 填寫「a_x」。
2. 填寫「a_y」。
3. 填寫「b_x」。
4. 填寫「b_y」。
5. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• 力學分解：把力沿某方向分解為投影分量
• 圖形學：判定兩向量夾角銳/鈍、做相似性度量
• 幾何分析：由投影長度理解向量在基上的分量

算例參考

• 方法：演算法：點積 a·b = ax·bx + ay·by；a 在 b 上的投影長度（帶符號）= a·b / |b|，|b| = √(bx²+by²)，例如 b=(3,4) 時 |b|=5。投影為正表示與 b 同向分量、為負表示反向。要求 b 非零。
• 算例：例：a=(3,4)、b=(1,0) → a·b=3、|b|=1.000、投影=3.000（即 a 在 x 軸上的投影等於其 x 分量）。若 a=(1,2)、b=(3,4) → a·b=11、|b|=5.000、投影=2.200；點積>0 說明兩向量夾角為銳角。

注意事項

本工具純前端執行，輸入內容不上傳伺服器；結果為按上述口徑得到的理論估算值。實際應用受裝置引數、測量條件與當地規範影響，請以裝置銘牌、檢測報告與現行標準為準，重大決策建議諮詢專業人士。

投影長度和投影向量是一回事嗎？

不是。投影長度是一個標量（本工具給出），投影向量是沿 b 方向的向量，等於 (a·b/|b|²)·b。需要向量形式時再乘以 b 的單位向量。

點積為負說明什麼？

點積 a·b = |a||b|cosθ，負值即 cosθ<0、θ>90°，兩向量成鈍角；點積=0 則正交（垂直）。