歐氏距離 使用指南

向量距離計算器，計算兩個向量間的歐氏距離與餘弦相似度，用於機器學習特徵相似度與聚類分析。

計算公式與原理

歐氏距離 = √[Σ(aᵢ − bᵢ)²]；曼哈頓距離 = Σ|aᵢ − bᵢ|；餘弦相似度 = (a·b)/(‖a‖·‖b‖)

三種常用向量度量並列給出：歐氏看絕對位置差，受量綱影響需先標準化；曼哈頓按軸累加，在高維稀疏場景更穩；餘弦只看夾角、忽略模長，因此常用於 embedding 與文本相似度比較。

使用步驟

1. 填寫「A1」。
2. 填寫「A2」。
3. 填寫「A3」。
4. 填寫「B1」。
5. 填寫「B2」。
6. 填寫「B3」。
7. 結果區會即時更新；可一鍵複製結果用於記錄或彙報。

典型使用場景

• 歐氏距離 d(x,y)=√(Σ(xᵢ−yᵢ)²)，衡量向量在空間中的絕對距離。
• 餘弦相似度 cos(x,y)=Σxᵢyᵢ/(‖x‖·‖y‖)，衡量方向一致性而非模長。
• 高維空間中歐氏距離因維度災難趨於收斂，語義比對優先用餘弦。

算例參考

• 二維向量距離：x=(3,4), y=(0,0)：d=√(3²+4²)=5。‖x‖=5，若 y 為零向量則餘弦分母為 0 無定義，比對前需剔除零向量。

注意事項

結果為按上述公式得到的理論估算值，實際表現受資料分佈、實現細節與執行環境影響，落地決策請以實測為準；本工具純前端執行，輸入不上傳伺服器。

歐氏距離與餘弦相似度怎麼選？

關心量級/絕對差用歐氏；關心方向/語義用餘弦。文本與影像嵌入幾乎都用餘弦，因為向量模長常受詞頻或亮度影響、不代表語義強度。

維度很高時距離失效怎麼辦？

先對特徵做標準化(z-score)消除量綱，或降維(PCA/t-SNE)後再比對；語義場景直接用餘弦距離更穩定。