P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)

Enter trials n, success count k and success probability p to compute the probability of exactly k successes in n independent Bernoulli trials, for discrete distributions and risk modelling.

📐 计算公式

P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)。 10 投 3 中、p=0.5 → 0.1172。

n 次独立试验恰好 k 次成功的概率。

试验数 n

成功数 k

成功概率 p

📌 计算说明

P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)。
10 投 3 中、p=0.5 → 0.1172。

📚 深度解析：二项分布概率质量

💡 常见使用场景

n 次独立伯努利试验中恰好 k 次成功的概率。
质量抽检、投篮命中、点击转化等计数。
P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)。

10 投 5 中

n=10、p=0.5、k=5：C(10,5)=252；P=252×0.5^10=252/1024≈0.2461。即十投五中概率约 24.6%。

次品率

n=20、p=0.1、k=0（全合格）：P=0.9^20≈0.1216；k=2：C(20,2)×0.1²×0.9^18=190×0.01×0.1652≈0.3139。

❓ 常见问题（FAQ）

C(n,k) 怎么算？: 组合数 C(n,k)=n!/(k!(n−k)!)，表示选 k 次成功的位置数。
和泊松分布关系？: 当 n 大、p 小、λ=np 适中时，二项近似泊松 P≈e^−λ·λ^k/k!。

Formula & Standard References

Item	Formula / Note	Source / Standard
Binomial PMF	P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)	Bernoulli 1713, Ars Conjectandi
Mean and variance	E(X) = np, Var(X) = np(1−p)	Binomial distribution properties
Normal approximation	Normal approximation valid when np≥5 and n(1−p)≥5 (np≥10 safer)	de Moivre-Laplace practical rule
Poisson approximation	For n≥20, p≤0.05: P(k) ≈ e^(−np)(np)^k ÷ k!	Poisson 1837 limit theorem

二项分布概率计算器

P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)

📚 深度解析：二项分布概率质量

💡 常见使用场景

❓ 常见问题（FAQ）

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