χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ

Enter observed and expected frequencies to compute the chi-square statistic and judge whether the deviation is significant, for goodness-of-fit and independence tests.

📐 计算公式

卡方统计量 χ² = Σ (观测值 O − 期望值 E)² ÷ E，求和项数 n = 序列长度（O 与 E 个数必须一致，不一致提示报错；E≤0 提示报错）；自由度 df = n − 1。校验：观测值与期望值为必填项（逗号分隔数值，必填校验壳拦截空值）。判据：χ² 越大观测与期望偏离越显著，可对照自由度 df 的卡方临界值表判断显著性（结果保留 4 位小数）。

观测值与期望值偏离程度。

观测值 O（逗号分隔）

期望值 E（逗号分隔）

📌 计算说明

χ² = Σ(O−E)²/E。
df = 类别数 − 1。

📚 深度解析：卡方拟合优度/独立性检验

💡 常见使用场景

比较观察频数与期望频数：χ²=Σ(O−E)²/E。

列联表独立性检验、分布拟合检验。

自由度=(行−1)(列−1) 查临界值。

2×2 独立性

观察 O=[60,40;30,70]（行列和均 100），期望 E=50 各格：χ²=(10²+10²+20²+20²)/50=(100+100+400+400)/50=1000/50=20。df=1，远超临界 3.84，显著相关。

拟合优度

抛硬币 100 次期望 50/50，观察 60/40：χ²=(10²+10²)/50=4，df=1，p≈0.045，临界显著。

❓ 常见问题（FAQ）

期望频数怎么定？

独立性检验 E_ij=行和_i×列和_j/总计；拟合检验按理论比例分配。任一期望<5 宜合并或用法氏校正。

χ² 越大说明什么？

χ² 大表示观察与期望偏离大，越可能拒绝原假设（独立/拟合）。

Item

Formula / Note

Source / Standard

Chi-square statistic

χ² = Σ(O − E)² ÷ E with E = row total × column total ÷ grand total

Pearson 1900, Philosophical Magazine

Degrees of freedom

For independence tests df = (rows − 1) × (columns − 1)

Standard contingency-table analysis

Expected-count condition

All expected counts ≥1 and <5 in ≤20% of cells, else use Fisher exact test

Cochran 1954 rule

Cramér's V

V = √(χ² ÷ (n × min(r−1, c−1))), 0–1 association strength

Cramér 1946, Mathematical Methods of Statistics

卡方检验计算器

χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ

📚 深度解析：卡方拟合优度/独立性检验

💡 常见使用场景

❓ 常见问题（FAQ）

🔗 相关工具

Formula & Standard References