等比数列通项计算器

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Geometric Sequence nth Term Calculator

Compute the n-th term of a geometric sequence from first term, ratio and n.

📐 计算公式
等比数列通项与求和（本页代码口径）：第 n 项 aₙ=首项 a₁×r^(n−1)；前 n 项和 Sₙ 在 |r−1|>10⁻¹² 时取 a₁×(1−rⁿ)÷(1−r)，r≈1 时退化为 a₁×n（公比 1 奇点分支）；回算公比=(aₙ÷a₁)^(1÷(n−1))。校验：三项经输入守卫必填且须为合法数值，否则提示并中止。判据：无固定分级，|r|<1 时 Sₙ 随 n 收敛、|r|>1 时发散增大。

输入首项 a₁、公比 r 与项数 n，求第 n 项。

Formula & Standard References

Item Formula / Note Source / Standard
General term of a geometric sequence a_n = a1 · q^(n - 1) ISO 80000-2:2019, Quantities and units - Part 2: Mathematics
Common ratio q = a_(n+1)/a_n, constant for every pair of consecutive terms ISO 80000-2:2019, Quantities and units - Part 2: Mathematics
Sum of the first n terms S_n = a1 · (1 - q^n)/(1 - q) for q ≠ 1 ISO 80000-2:2019, Quantities and units - Part 2: Mathematics
Infinite geometric series For |q| < 1 the series converges to S = a1/(1 - q) ISO 80000-2:2019, Quantities and units - Part 2: Mathematics
📌 计算说明
  • 指数增长基础公式。
  • 2·3³ → 54。

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📚 深度解析：由首项、公比与项数求通项

💡 常见使用场景

算例：a₁=2, r=3, n=5
a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.000。
算例：a₁=1, r=2, n=6
a₆ = 1 × 2⁵ = 32.000。公比大于 1 时呈指数增长。

❓ 常见问题（FAQ）

等比数列和等差数列的区别？
等差是『加常数』（aₙ=a₁+(n−1)d，线性），等比是『乘常数』（aₙ=a₁·rⁿ⁻¹，指数）。前者等差增量，后者按比率缩放，增长形态完全不同。
公比 r<1 时数列会怎样？
0<r<1 时数列递减并趋于 0（如衰减、折旧）；−1<r<0 时振荡衰减；r=0 从第二项起全为 0。注意 n 较小时公式仍适用，但物理意义需结合场景判断。